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Wir brauchen einige mathematische Grundkenntnisse um mit Wahrscheinlichkeiten umzugehen,wir versuchen hier eine möglichst einfache und realitätsnahe Beschreibung und Erklärung über Poker und Mathematik zu geben.

Die Fakultät und Permutationen

Unter einer Permutation (lat. permutare (vertauschen) versteht man in der Mathematik die Veränderung der Reihenfolge der Elemente eines Tupels (geordnete Zusammenstellung von Objekten). Keine Angst und einfach weiterlesen!
Wie viele Möglichkeiten gibt es eine vorgegebene Zahl von Karten anzuordnen?
Um klein anzufangen nehmen wir drei Karten. Dabei lassen sich die möglichen Permutationen noch leicht aufzählen:

1 2 3, 1 3 2 , 2 3 1, 2 1 3, 3 1 2, 3 2 1

Wir kommen bei drei Karten also auf 6 Permutationen.
Bei 4 Karten gibt es bereits 24 Permutationen. Schauen Wir dort mal etwas genauer hin. Es gibt bei 4 Karten also 4 verschiedene Möglichkeiten für die erste Karte. Für die zweite Karte gibt es dann nur noch 3 Möglichkeiten, die erste ist ja bereits gewählt. Die dritte Karte erhält nur noch 2 Möglichkeiten, und die vierte 1 Möglichkeit, da ja nur noch eine Karte übrig geblieben ist. Die Zahl der Permutationen von 4 Karten ist also:

4 · 3 · 2 · 1 = 24

Diese kleine Berechnungsweise hat in der Mathematik so große Bedeutung, dass ihr eine eigenständig mathematische Operation zugesprochen wird, die Fakultät. Sie wird mit einem Ausführungszeichen hinter dem Zahlenwert geschrieben, also n! (gesprochen:  n Fakultät ) In unserem Fall wäre also n = 4 und somit 4! = 24.

Die allgemeine Formel für die Fakultät sieht so aus:

n! = n · (n - 1) · (n  2) · ... 4 · 3 · 2 · 1

Wie schnell dieser Wert wächst sieht man schon bei der Auflistung der Fakultäten für die Zahlen 1  7.

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040

Wenn wir uns zur Verdeutlichung einmal die möglichen 52! Permutationen eines Pokerspiels vor Augen führen. Das ist dann eine 67-stellige Zahl. Das entspricht etwa der geschätzten Anzahl der Atome des Universums. Jetzt springen Sie nicht gleich aus dem Fenster, das bedeutet eigentlich nur man sollte nicht wetten, dass ein und dieselbe Reihenfolge aller 52 Karten nach dem mischen wieder auftritt.


Binomialkoeffizient

Beim Pokern erhält ein Spieler nun 5 aus 52 Karten. Die Reihenfolge in der die Karten dem Spieler ausgeteilt werden ist aber unwichtig. Man spricht dann in solchen Fällen von Variationen.
Die Anzahl der möglichen Variationen ist ähnlich der der Permutationen. Bei einem Pokerspiel werden aus 52 Karten 5 an einen Spieler ausgeteilt. Für die erste Karte gibt es also 52 Möglichkeiten, für die zweite 51, für die dritte 50 usw.. Es gibt also 52 · 51 · 50 · 49 · 48 = 311.875.200 verschiedene Sequenzen von 5 Karten aus einem 52er Blatt. Dabei Unterscheidet sich jedoch bei manchen Sequenzen nur die Reihenfolge der Karten und nicht die Karten selber. Wir müssen also weiter überlegen um die Sequenzen, die sich nur in ihrer Reihenfolge unterscheiden, auszuschließen. Jede Auswahl von 5 Poker Blättern kann als Permutation in 5! = 120 Blattsequenzen auftreten. Die Zahl der Variationen beträgt:

Also ca. 2,6 Millionen Kartenkombinationen.

Als allgemeine Formel ausgedrückt: Der letzte Term der Gleichung ist die Schreibweise des Binomialkoefizienten, gesprochen: "n über k".
In unserem Beispiel also 52 über 5 . Eine weiter Schreibweise ist C(n,k), diese Schreibweise werde ich auch weiterhin benutzen.


Wie lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten einer Kartenkombination berechnen. Als Beispiel Blatt nehmen wir zwei Paare.

Die Zahl der möglichen Kombinationen erhält man, indem man folgende Merkmale dieser Kombination miteinander multipliziert.

1. C (13,2) = 78 Möglichkeiten für die beiden Paare.
2. 11 Möglichkeiten für die fünfte Karte (13 insgesamt  2 für unsere schon vergebenen Paare)
3. C(4,2) = 6 Möglichkeiten für die Farben des ersten Zwillings
4. C(4,2) = 6 Möglichkeiten für die Farbe des zweiten Zwillings
5. 4 Möglichkeiten für die Farbe der letzten Karte

Daraus ergiebt sich nun insgesamt 78 · 11 · 6 · 6 · = 123.552 mögliche Kombinationen zwei Paare (und eine fünfte Karte) ausgeteilt zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit zwei Pärchen zu bekommen beträgt also:

123.552 / 2.598.960 = 0,04754 also ca. 5%